Число Оре

Число Оре — натуральное число, среднее гармоническое делителей которого является целым числом. Введено Ойстином Оре в 1948 году. Первые несколько чисел Оре:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18 600, 18 620, ….

Например, число Оре 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Их гармоническое среднее является целым числом:

[math]\displaystyle{ \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2. }[/math]

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их гармоническое среднее:

[math]\displaystyle{ \frac{12}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10} +\frac{1}{14}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}+\frac{1}{140}}=5. }[/math]

5 является целым числом, а значит, 140 является числом Оре.

Числа Оре и совершенные числа

Для любого целого числа [math]\displaystyle{ M }[/math] произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу [math]\displaystyle{ M }[/math], что непосредственно следует из определений. Таким образом, [math]\displaystyle{ M }[/math] является числом Оре с гармоническим средним делителей [math]\displaystyle{ k }[/math] в том и только в том случае, когда среднее арифметическое делителей является частным от деления [math]\displaystyle{ M }[/math] на [math]\displaystyle{ k }[/math].

Оре показал, что любое совершенное число является числом Оре. Так как сумма делителей совершенного числа [math]\displaystyle{ M }[/math] в точности равна [math]\displaystyle{ 2M }[/math], среднее делителей равно [math]\displaystyle{ M (2/\tau(M)) }[/math], где [math]\displaystyle{ \tau(M) }[/math] означает число делителей числа [math]\displaystyle{ M }[/math]. Для любого [math]\displaystyle{ M }[/math] число [math]\displaystyle{ \tau(M) }[/math] нечётно тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ M }[/math] является полным квадратом, в противном случае каждому делителю [math]\displaystyle{ d }[/math] числа [math]\displaystyle{ M }[/math] можно сопоставить другой делитель — [math]\displaystyle{ M/d }[/math]. Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие существуют) должны иметь множитель вида [math]\displaystyle{ q^\alpha }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha \equiv 1 \pmod 4 }[/math]. Таким образом, для совершенного числа [math]\displaystyle{ M }[/math] число делителей [math]\displaystyle{ \tau(M) }[/math] чётно и среднее делителей является произведением [math]\displaystyle{ M }[/math] на [math]\displaystyle{ 2/\tau(M) }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ M }[/math] является числом Оре.

Оре высказал предположение, что не существует нечётных чисел Оре, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Границы и компьютерный поиск

Показано, что любое нечётное число Оре, большее 1, должно иметь степень простого делителя больше 10⁷, а также, что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует нечётных чисел Оре, меньших 10²⁴.

Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых чисел Оре, в результате были найдены все числа Оре до 2×10⁹ и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.

Литература

• Bogomolny, Alexander. An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Cohen, Graeme L. Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean // Mathematics of Computation. — 1997. — Т. 66. — С. 883–891. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00819-3.

• Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Odd harmonic numbers exceed 10²⁴ // Mathematics of Computation. — 2010. — Т. 79, вып. 272. — С. 2451. — ISSN 0025-5718. — doi:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. Опубликовано в электроном виде 9 апреля 2010.

• Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.

• Joseph B. Muskat. On Divisors of Odd Perfect Numbers // Mathematics of Computation. — American Mathematical Society, 1966. — Т. 20, вып. 93. — С. 141–144. — doi:10.2307/2004277. — .

• Øystein Ore. On the averages of the divisors of a number // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1948. — Т. 55. — С. 615–619. — doi:10.2307/2305616. — .

• Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.